证明线性方程组 (Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组 (Ⅲ)是同解方程组.

admin2016-10-24  36

问题 证明线性方程组

(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组

(Ⅲ)是同解方程组.

选项

答案令[*]=(α1,α2,…,αn),b=[*] 方程组(Ⅰ)可写为AX=b,方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY=0及[*] 若方程组(Ⅰ)有解,则r(A)=r(A|b),从而r(AT)=[*],又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解,所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解;反之,若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解,则r(AT)=[*],从而r(A)=r(A|b),故方程组(Ⅰ)有解.

解析
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