2. 考研
  3. 设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)－f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)－f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

admin2019-09-27  15
问题 设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)－f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．
选项
答案令P(x，y)=xy(x+y)－f(x)y，Q(x，y)=f′(x)+x2y，因为[xy(x+y)－f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以[*]，即f″(x)+f(x)=x2， 解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2－2，由f(0)=0，f′(0)=1得C1=2，C2=1， 所以f(x)=2cosx+sinx+x2－2． 原方程为[xy2－(2cosx+sinx)y+2y]dx+(－2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得 (xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)－2(ycosxdx+sinxdy)+(－ysinxdx+cosxdy)=0， 即d([*]x2y2+2xy－2ysinx+ycosx)=0， 原方程的通解为[*]x2y2+2xy－2ysinx+ycosx=C．
解析
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考研数学一

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