设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，X2，X3，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，试求： (Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量； (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量，为什么?

admin2019-11-02 22

问题设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X₁，X₂，X₃，…，X_n是取自总体X的一个简单随机样本，试求：
(Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量

；
(Ⅱ)

是否为θ的无偏估计量，为什么?

选项

答案(Ⅰ)似然函数 [*] 由于函数L在[*]处间断，当[*]时，函数L＝0。当[*]是θ的单调减函数，因此当[*]时，L达到最大值，于是θ的最大似然估计量为[*][*] (Ⅱ)为求[*]的期望值，先求[*]的分布。由于总体X服从[0，θ]上的均匀分布，因此X_i(i＝1，2，…，n)也服从[0，θ]上的均匀分布。其分布函数为 [*] 概率密度为 [*] 记[*]的分布函数为G(x)，密度函数为g(x)，则当x<0时，G(x)＝0；当x>θ时，G(x)＝1；当0≤x≤θ时， [*] 由于X₁，X₂，…，X_n相互独立，于是有 [*] 因此[*]不是参数θ的无偏估计量。

解析本题考查参数估计。利用似然函数的结果进行讨论，似然函数在

处是间断的，因此对其两端进行讨论，找出似然函数的最大值。根据

的概率分布函数求概率密度；再根据

，比较

的大小，从而判断其无偏性。

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考研数学一

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