求微分方程y"+2y’－3y=ex+x的通解．

admin2019-02-20 15

问题求微分方程y"+2y’－3y=e^x+x的通解．

选项

答案相应的齐次方程为y"+2y’－3y=0，特征方程为λ²+2λ－3=0，特征根为λ=1，λ=－3，齐次方程的通解为C₁e^x+C₂e^－3x．为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y"+2y’－3y=e^x和y"+2y’－3y=x．对于第一个方程，α=1是特征根，故设特解y₁^*(x)=Axe^x，将 y’₁^*(x)=Ae^x(x+1)， y"₁^*(x)=Ae^x(x+2) 代入原方程，比较系数可得[*]即[*]．对于第二个方程，非齐次项f(x)=x，0不是特征根，故设特解y₂^*(x)=Bx+C，将 y’₂^*(x)=B， y"₂^*=0 代入原方程，比较系数可得[*]即[*] 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 [*]

解析

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考研数学三

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