已知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2， (1)求实数a的值； (2)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

admin2016-05-09 34

问题已知A＝

，二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ^T(A^TA)χ的秩为2，
(1)求实数a的值；
(2)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

选项

答案(1)A^TA＝[*]，由r(A^TA)＝2可得，｜AA｜＝[*]＝(a＋1)²(a²＋3)＝0 可得a＝－1． (2)由(1)中结果，则 f＝χ^TA^TAχ＝(χ₁，χ₂，χ₃)[*] ＝2χ₁²＋2χ₂²＋4χ₃²＋4χ₁χ₃＋4χ₂χ₃．令矩阵[*] ｜λE－B｜＝[*]＝λ(λ－2)(λ－6)＝0，解得B矩阵的特征值为λ₁＝0，λ₂＝2，λ₃＝6．对于λ₁＝0，解(λ₁E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η₁＝[*] 对于λ₂＝2，解(λ₂E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η₂＝[*] 对于λ₃＝6，解(λ₃E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η₃＝[*] 将η₁，η₂，η₃单位化可得： [*] 令χ＝Qy可将原二次型化为2y₂²＋6y₃³．

解析

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考研数学一

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已知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2， (1)求实数a的值； (2)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

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