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  3. 设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0,∫01xfˊ(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得fˊ(ξ)=4．

设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0,∫01xfˊ(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得fˊ(ξ)=4．

admin2022-01-17  26
问题 设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0,∫01xfˊ(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得fˊ(ξ)=4．
选项
答案由分部积分，得 ∫01xfˊ(x)dx=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－∫01f(x)dx=2， 于是∫01f(x)dx=－2. 由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=fˊ(η)(x－1)，其中η∈(x，1)， f(x)=fˊ(η)(x－1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01fˊ(η)(x－1)dx=－2． 因为fˊ(x)在[0，1]上连续，所以fˊ(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M， 由M(x－1)≤fˊ(η)(x－1)≤m(x－1)两边对x从0到1积分， 得－[*]≤∫01fˊ(η)(x－1)dx≤－[*]，即m≤4≤M， 由介值定理，存在ξ∈［0，1］，使得fˊ(ξ)=4．
解析
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考研数学二

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