空间n个点Pi(xi,yi,zi),i=1,2,…,n,n≥4.矩阵的秩记为r,则n个点共面的充分必要条件是( )

admin2016-04-14  47

问题 空间n个点Pi(xi,yi,zi),i=1,2,…,n,n≥4.矩阵的秩记为r,则n个点共面的充分必要条件是(     )

选项 A、r=1.
B、r=2.
C、r=3.
D、1≤r≤3.

答案D

解析 先举例说明为什么不选(A)、(B)、(C).例子如下:取点P1(1,1,1),P2(2,2,2),P3(3,3,3),
P4(4,4,4).此4点在一条直线上,显然共面.矩阵

的秩为2,所以不选(A)、(C).又如P1(1,0,0),P2(0,0,0),P3(0,0,1),P4共面(共面方程x+y+z=1),矩阵

的秩为3,不选(A)、(B).以下证明(D)是正确的.证明如下:
设这n个点共面,则其中任取4个点,例如P1,P2,P3与P4也必共面.于是

其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程.所以l≤r≤≤3.反之,设1≤r≤3,则A中任取一个4阶矩阵,其对应的行列式必为零,因此任意4点必共面,所以这n个点必共面.证毕.
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