设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3) (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?

admin2020-04-22 14

问题设二次型F(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=(x₁，x₂，x₃)

(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
(Ⅱ)求该二次型；
(Ⅲ)f(x₁，x₂，x₃)=1表示什么曲面?

选项

答案(Ⅰ)由题设条件 [*] 故B的3个列向量都是Ax=0的解向量，也是A的对应λ=0的特征向量，其中 [*] 线性无关且正交， [*]=ξ₁+ξ₂，故λ=0至少是二重特征值．又因[*] 另一个特征值是λ₃=2，故λ₁=λ₂=0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故对应λ₃=2的特征向量应与ξ₁，ξ₂正交，设ξ₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则有 [*] 故存在正交变换x=Qy，其中 [*] (Ⅱ)先求二次型对应矩阵，因 [*] 故所求二次型为f(x₁，x₂，x₃)=[*](x₁²+x₂²+4x₃²+2x₁x₂－4x₁x₃－4x₂x₃)=[*](x₁+x₂－2x₃)²． (Ⅲ)由(Ⅱ)得二次型 f(x₁，x₂，x₃)=[*](x₁²+x₂²+4x₃²+2x₁x₂－4x₁x₃－4x₂x₃)=[*](x₁+x₂－2x₃)²，若f(x₁，x₂，x₃)=1，得x₁+x₂－2x₃=[*]表示两个平行平面．

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/XFCRFFFM

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3) (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?

考研数学一

[2004年]设A，B为随机事件且P（A）=1／4，P(B｜A)=1／3，P(A｜B)=1／2．令求X与Y的相关系数ρXY．

[2010年]设随机变量X的概率分布为P(X=k)=c／k!(k=0，1，2，…)，则E(X2)=______．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．

已知α1=[1，0，2，3]，α2=[1，1，3，5]，α3=[1，一1，a+2，1]，α4=[1，2，4，a+8]及β=[1，1，b+3，5]．a，b为何值时，β不能表示成α1，α2，α3，α4的线性组合?

设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则()．

[2017年]设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是()．

求y=∫0x(1一t)arctantdt的极值．

求微分方程xydx+(x2+1)dy=0满足初值条件y|x=0=1的特解．

求下列非齐次线性微分方程的通解或在给定初值条件下的特解．y"一6y′+8y=8x2+4x-2；

在大地测量中，对于平均海水面即基准面以下的地面点，其高程用从平均海平面向下量的负高程表示，如水面下某点距平均海平面的竖直距离为12m，则标为-12．0m。水下地形用连接相同水深点的等深线表示，形成()。

针灸治疗血枯经闭，可用()

A、重症支气管哮喘的治疗B、解除消化道痉挛C、急性青光眼的抢救D、抗幽门螺杆菌E、醛固酮增多的顽固性水肿阿莫西林用于

脑血栓形成的最常见原因是

1997＋2002＋1999＋2003＋1991＋2005的值是()。

首次提出心理学是一门科学的是()。

2017年2月14目，人力资源和社会保障部举行工作会议，计划于本年6月底前在12个试点地区启动两险合并工作，这“两险”具体是指()。

[*]