设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

admin2019-05-10 21

问题设A=E一ξξ^T，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．证明：当ξ^Tξ=1时，A是不可逆矩阵．

选项

答案证明时由条件ξ^Tξ=1自然想到要利用结论，这时用反证法最简．注意到A=E一ξξ^T≠E．如果A可逆，则得到A=E的矛盾．证一当ξ^Tξ=1时，由(1)有A²=A．如果A可逆，则A^-1A²=A^-1A，即A=E．这与A≠E矛盾，故A不可逆．证二因A=E－ξξ^T，故Aξ=ξ一ξξ^Tξ．当ξ^Tξ=1时，有Aξ=0．由于ξ≠0，AX=0有非零解．由命题2．1．2．6知∣A∣=0，A不可逆．

解析

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