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设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α,β,γ,并求该方程的通解。
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α,β,γ,并求该方程的通解。
admin
2022-10-13
52
问题
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γe
x
的一个特解为y=e
2x
+(1+x)e
x
,试确定常数α,β,γ,并求该方程的通解。
选项
答案
解法一 由题设特解知原方程的特征根为1和2,所以特征方程为 (r-1)(r-2)=0 即r
2
-3r+2=0 于是α=-3,β=2 为确定γ,只需将y
1
=xe
x
代入方程 (x+2)e
x
-3(x+1)e
x
+2xe
x
=γe
x
,解得γ=-1 从而原方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+xe
x
解法二 将y=e
2x
+(1+x)e
x
代入原方程得 (4+2α+β)e
2x
+(3+2α+β)e
x
+(1+α+β)xe
x
=γe
x
比较同类项的系数,有 [*] 解方程组得α=-3,β=2,γ=-1 即原方程为y”-3y’+2y=-e
x
,它对应的齐次方程的特征方程为r
2
-3r+2=0,解之得特征根r
1
=1,r
2
=2,故齐次方程的通解为 Y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
由题设特解知,原方程的通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+[e
2x
+(1+x)e
2x
] 即y=C
3
e
x
+C
4
e
2x
+xe
x
解析
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考研数学三
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