设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y3，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

admin2016-01-23 23

问题设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y³

，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

选项

答案曲线y=y(x)上任意一点处的曲率半径为R=[*]，故由题设条件有 [*]，即y³y’’+1=0．这是不显含x的可降阶的微分方程．令[*]=p，则 [*] 于是方程化为 [*] 两边积分，得[*] 因曲线y=y(x)上点(1，1)处切线方程为y=1，故y(1)=1，y’(1)=p(1)=0．代入上述方程，可得C₁=[*]从而有 [*] 于是有[*]=dx．两边积分，得 [*]=x+C₂ 由

解析本题主要考查曲率半径的概念，并由此构造一个可降阶的微分方程．建立出这个微分方程，解之即可．
注：对干求解可降阶的高阶微分方程的特解问题，要根据初始条件随时确定积分后出现的任意常数，这样一般会使计算得以简化．请读者参阅求解过程仔细体会．

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考研数学一

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设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y3，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

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设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关．而向量组α1，α2…，αm，γ线性相关．证明：向量γ可由向量组α1，α2…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=________．

设A=(α1,α2,α3,…,αm)，其中α1,α2,α3,…,αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1,k2,k3,…,km，皆有k1α1+k2α2+k3α3+...+kmαm≠0,则()。

设函数f(x)二阶连续可导且满足关系f"(x)+f’2(x)=x,且f’(0)=0,则()。

设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=________.

设平面区域D={(x，y)｜1/4≤x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，记则()

设，其中g(x可导，且ln(1+x)是g(x)的一个原函数，则积分∫01f(x)dx=________。

某企业做销售某种商品的广告可通过电台及报纸两种方式，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)和报纸广告费用x2(万元)之间的关系如下：R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x12-10x22若提供的广告费用为1．5万元

某保险公司设置某一险种，规定每一保单有效期为一年，有效理赔一次，每个保单收取保费500元，理赔额为40000元．据估计每个保单索赔概率为0．01，设公司共卖出这种保单8000个，求该公司在该险种上获得的平均利润．

患者，男，32岁。饱餐酗酒后数小时，上腹出现持续性剧烈痛并向左肩、腰背部放射，伴有恶心、呕吐，12小时后来院就诊。初步诊断为急性胰腺炎。患者继发胰腺外分泌功能不足，此时出院健康教育指导正确的是

深龋备洞可以不必达到的要求是

恶性肿瘤常用的化疗方法不包括

A．神经官能症B．左心衰竭C．喘息型慢性支气管炎D．气胸E．喉水肿混合性呼吸困难

确定整个工程项目从立项到竣工验收全过程所需费用的文件是()。

基金投资于众多股票，能有效分散风险，是一种风险和收益均较高的投资品种。(　　)

产权比率是负债对权益之比。该比率越低，偿债的保障程度越高，所以企业应尽量降低产权比率。()

《中华人民共和国出境入境边防检查条例》规定，携带、载运违禁物品的，边防检查站应当()违禁物品，对携带人、载运违禁物品的交通工具负责人依照有关法律、行政法规的规定处理。

一般采用6—10RM的力量训练主要用于()。

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