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设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)为 (Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解.
设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)为 (Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解.
admin
2018-11-11
30
问题
设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)为
(Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)
T
,(-1,2,2,1)
T
.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解.
选项
答案
一种思路是构造一个线性方程组(Ⅲ),使得它也以η
1
,η
2
为基础解系.于是(Ⅲ)和(Ⅱ)同解,从而(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解也就是(Ⅰ)和(Ⅲ)的公共解,可以解(Ⅰ)和(Ⅲ)的联立方程组来求得.例如(Ⅲ)可以是: [*] 这种思路的困难在于构造方程组(Ⅲ),在考场上不是每个考生都能很顺利完成的. 另一种思路为:(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解都必定是(Ⅱ)的解,因此有c
1
η
1
+c
2
η
2
的形式.它又满足(Ⅰ),由此可决定c
1
与c
2
应该满足的条件. 具体计算过程:将c
1
η
1
+c
2
η
2
=(-c
2
,c
1
+2c
2
, c
1
+2c
2
,c
2
)
T
,代入(Ⅰ),得到 [*] 解出c
1
+c
2
=0.即当c
1
+c
2
=0时c
1
η
1
+c
2
η
2
也是(Ⅰ)的解.于是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为: c(η
1
-η
2
),其中c可取任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/SGWRFFFM
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考研数学二
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