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(2003年)设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(χ)>0.若极限存在.证明: (1)在(a,b)内f(χ)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ,使 (3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点
(2003年)设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(χ)>0.若极限存在.证明: (1)在(a,b)内f(χ)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ,使 (3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点
admin
2016-05-30
59
问题
(2003年)设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(χ)>0.若极限
存在.证明:
(1)在(a,b)内f(χ)>0;
(2)在(a,b)内存在点ξ,使
(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f′(η)(b
2
-a
2
)=
f(χ)dχ
选项
答案
(1)由[*]存在知,[*](2χ-a)=0,由f(χ)在[a,b]上的连续知,f(a)=0. 又f′(χ)>0,则 f(χ)在(a,b)内单调增加,故 f(χ)>f(χ)=0, χ∈(a,b) (2)设F(χ)=χ
2
,g(χ)=∫
a
χ
f(t)dt (a≤χ≤b) 则g′(χ)=f(χ)>0,故F(χ),g(χ)满足柯希中值定理的条件,于是在(a,b)内存在点ξ,使 [*] (3)在[a,ξ]上对f(χ)用拉格朗日中值定理得,存在η∈(a,ξ),使 f(ξ)-f(a)=f′(η)(ξ-a) 即f(ξ)=f′(η)(ξ-a) 代入(2)中的结论得 [*]
解析
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考研数学二
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