2. 考研
  3. 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

admin2019-08-12  29
问题 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．
选项
答案令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]， 由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(-∞)=0，则 φ(x)=φ(x)-φ(-∞)=∫-∞xφ’(x)dx，两边取绝对值得 ex｜f(x)｜≤∫-∞x｜φ’(x)｜dx≤∫-∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．
解析
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考研数学二

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