若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．

admin2016-08-14 31

问题若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．

选项

答案y=一xe^x+x+2

解析由于y=(C₁+C₂z)e^x是方程y"+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ₁=λ₂=1，故a=一2，b=1．
设非齐次方程y"一2y’+y=x的特解为
y^*=Ax+B
代入方程得A=1，B=2，则其通解为
y=(C₁+C₂x)e^x+x+2
由y(0)=2，y’(0)=0得，C₁=0，C₂=一1．
所以y=一xe^x+x+2

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考研数学一

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