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设A为n阶方阵,且n≥2。证明|A*|=|(一A)*|。
设A为n阶方阵,且n≥2。证明|A*|=|(一A)*|。
admin
2018-12-19
21
问题
设A为n阶方阵,且n≥2。证明|A
*
|=|(一A)
*
|。
选项
答案
方法一:设A=(a
ij
),|A|中元素a
ij
的代数余子式为A
ij
,则|一A|中一a
ij
的代数余子式B
ij
=(一1)
n—1
A
ij
。于是,(一A)
*
=(一1)
n—1
A
*
。所以 |(一A)
*
|=|(一1)
n—1
A
*
|=[(一1)
n—1
]
n
|A
*
|=|A
*
|。 方法二:若A不可逆,则(一A)和A
*
也不可逆,从而(一A)
*
也不可逆,故|A
*
|=|(一A)
*
|=0。 若A可逆,则由AA
*
=|A|E可得(一A)(一A)
*
=|—A|E,于是 (一A)
*
=|—A|(一A)
—1
=(一1)
n
|A|·(一1)A
—1
=(一1)
n—1
A
*
, 故有 |(一A)
*
|=|(一1)
n—1
A
*
|=(一1)
(n—1)n
|A
*
|=|A
*
|。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/QzWRFFFM
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考研数学二
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