设I=∫-aadx(x2+y2)dx。 (Ⅰ)作出I的积分域Ω的图形； (Ⅱ)把I改变为先对x，次对y，再对z的三次积分； (Ⅲ)把I改变为柱坐标系的累次积分； (Ⅳ)把I改变为球坐标系的累次积分； (V)任选一种积分顺序计算，的值。

admin2018-05-25 39

问题设I=∫_-a^adx

(x²+y²)dx。
(Ⅰ)作出I的积分域Ω的图形；
(Ⅱ)把I改变为先对x，次对y，再对z的三次积分；
(Ⅲ)把I改变为柱坐标系的累次积分；
(Ⅳ)把I改变为球坐标系的累次积分；
(V)任选一种积分顺序计算，的值。

选项

答案(Ⅰ)由已知累次积分的上下限知 [*] 故在xOy面上，D_xy={(x，y)｜x²+y²≤a}；由球面方程及锥面方程知，z的上限是半径为a的上半球面，z的下限是以一a为顶点的半锥面，如图6—8所示。 (Ⅱ)由积分区域的构成及范围知 I=∫₀^adz[*](x²+y²)dx。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知D_xy={(x，y)｜x²+y²≤a}，故有[*]． (Ⅳ)I=∫₀^2πdθ[*]r⁴sin³φdr． (V)由(Ⅲ)得出I=2π∫₀^aρ³[*]πa⁵。 [*]

解析

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考研数学一

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设I=∫-aadx(x2+y2)dx。 (Ⅰ)作出I的积分域Ω的图形； (Ⅱ)把I改变为先对x，次对y，再对z的三次积分； (Ⅲ)把I改变为柱坐标系的累次积分； (Ⅳ)把I改变为球坐标系的累次积分； (V)任选一种积分顺序计算，的值。

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