2. 考研
  3. 设函数f(x)的瑕点为x=a，f(x)在(a，b]的任一内闭区间[u，b]上可积，则当∫ab｜f(x)｜dx收敛时，∫abf(x)dx也必定收敛，并有｜∫abf(x)dx｜≤∫ab｜f(x)｜dx．

设函数f(x)的瑕点为x=a，f(x)在(a，b]的任一内闭区间[u，b]上可积，则当∫ab｜f(x)｜dx收敛时，∫abf(x)dx也必定收敛，并有｜∫abf(x)dx｜≤∫ab｜f(x)｜dx．

admin2022-11-23  15
问题 设函数f(x)的瑕点为x=a，f(x)在(a，b]的任一内闭区间[u，b]上可积，则当∫ab｜f(x)｜dx收敛时，∫abf(x)dx也必定收敛，并有｜∫abf(x)dx｜≤∫ab｜f(x)｜dx．
选项
答案由于瑕积分∫ab｜f(x)｜dx在瑕点x=a处收敛，由柯西准则知，对仟给的ε＞0，存在δ＞0，当u1，u2∈(a，a+δ)时，总有｜[*]｜f(x)｜dx｜＜ε． 又f(x)在(a，b]的任一内闭区间[u，b]上可积，由定积分的绝对不等式有 [*] 从而由柯西准则知，∫abf(x)dx收敛．又｜∫a+δbf(x)dx｜≤∫a+δb｜f(x)｜dx，令δ→0+，得 ｜∫abf(x)dx｜≤∫ab｜f(x)｜dx．
解析
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考研数学一

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