设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则( )

admin2021-01-25  43

问题 设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则(    )

选项 A、r>r1
B、r<r1
C、r=r1
D、r与r1的关系依C而定.

答案C

解析 因为,用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换,而初等变换不改变矩阵的秩,故有r(AC)=r(A).
本题主要考查“初等变换不改变矩阵的秩(即等价的矩阵具有相同的秩)”的性质.注意,用矩阵乘法表示等价矩阵的形式:A与B行等价存在可逆矩阵P,使得PA=B;A与B列等价存在可逆矩阵Q,使得AQ=B;A与B等价存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B.
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