设f(x)=xe2x一2x—cosx，讨论它在区间(一∞，+∞)内零点的个数．

admin2014-04-23 27

问题设f(x)=xe^2x一2x—cosx，讨论它在区间(一∞，+∞)内零点的个数．

选项

答案f(一1)=一e^-2+2一cos1＞0，f(0)=一1<0，f(1)=e²一2一cos1＞0，所以在区间(一1，0)与区间(0．1)内分别至少有1个零点．f(x)=e^2x+2xe^2x一2+sinx=2xe^2x+(e^2x一1)+(sinx—1)．所以当x＜0时，f^’(x)＜0．所以在区间(一∞，一1]内f(x)无零点，在区间(一1，0)内有1个零点．f^’’(x)=4e^2x+4xe^2x+cosx=4(1+x)e^2x+cosx=(4e^2x+cosx)+4xe^2x．可见无论x∈(一1，0)还是x∈[0，+∞)，f^’’(x)＞0．所以在区间(一1，+∞)内f(x)至多有。9个零点，而前已证明f(x)在区间(一1，1)内至少有2个零点，所以，f(x)仅有2个零点．分别在区间(一1，0)与(0，1)内．

解析

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