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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’’(ξ)=
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’’(ξ)=
admin
2019-08-12
39
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’’(ξ)=
选项
答案
令φ(x)=(x-1)
2
f’(x),显然φ(x)在[0,1]上可导.由f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=0,再由φ(c)=φ=(1)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(c,1)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)
2
f’’(x),所以 2(ξ-1)f’(ξ)+(ξ-1)
2
f’’(ξ)=0,整理得f’’(ξ)=[*]
解析
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考研数学二
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