2. 考研
  3. 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

admin2019-08-01  41
问题 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
选项
答案记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)，由于β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示，故秩r(A)＜3，从而|A|=一 (a一1)2(a+2)=0，所以a=1或a=一2． 当a=1时，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，故α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，但β2=(一2，1，4)T不能由α1，α2，α3线性表示，所以a=1符合题意． 当a=一2时，由下列矩阵的初等行变换 [*] 知秩r(B)=2，秩r(B|α2)=3，所以方程组Bx=α2无解，即α2不能由β1，β2，β3线性表示，故a=一2不符合题意，因此a=1． 记A= (α1，α2，α3)，B= (β1，β2，β3)，对矩阵(A|B)施行初等行变换： [*] 由于β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示，故r(A)＜3，因此a=1或a=一2． 当a=1时，由下列矩阵的初等行变换 [*] 知秩r(A)=1，秩r(A|β2)=2，故方程组Ax=β2无解，所以β2不能由α1，α2，α3线性表示．另一方面，由于|B|=一9≠0，故Bx=αi(i=1，2，3)有惟一解，即α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，所以a=1符合题意． 当a=一2时，由下列矩阵的初等行变换 [*] 可知秩r(B)=2，秩r(B|α2)=3，故方程组Bx=α2无解，即α2不能由β1，β2，β3线性表示，故a=一2不符合题意，因此a=1． 记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)．由于|B|=(a+2)(a一4)，故当a≠一2且a≠4时，方程组Bx=aj(j=1，2，3)有解，即向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2，β3线性表示，当a=一2时，由初等行变换 [*] 知r(B)=2，而r(B |α2)一3，故方程组Bx=α2无解，即α2不能由β1，β2，β3线性表示，故a=一2不符合题意． 同理可知a=4不符合题意． 由题意知方程组Ax=βj(j=1，2，3)不全有解，故必有|A|=一(a一1)2(a+2)=0，所以a=1或a=一2，前已说明a=一2不符合题意，所以，只有a=1可能符合题意． 当a=1时，由初等行变换 [*] 知r(A)=1，而r(A|β2)=2，故方程组Ax=β2无解，即β2不能由α1，α2，α3线性表示．综上所述，可知只有a=1符合题意．
解析
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考研数学二

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