构造正交矩阵Q,使得QTAQ是对角矩阵

admin2019-07-22  33

问题 构造正交矩阵Q,使得QTAQ是对角矩阵

选项

答案(1)先求特征值 |λE-A|=[*]=λ(λ-2)(λ-6). A的特征值为0,2,6. 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解, [*] 求得一个非零解为(1,1,-1)T,单位化得 γ1=[*](1,1,-1)T. 属于2的特征向量是齐次方程组(A-2E)X=0的非零解, [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1,-1,0)T,单位化得 γ2=[*](1,-1,0)T. 属于6的特征向量是齐次方程组(A-6E)X=0的非零解, [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1,1,2)T,单位化得 γ3=[*](1,1,2)T. 作正交矩阵 Q=(γ1,γ2,γ3),则QTAQ=Q-1AQ=[*] (2)先求特征值 |λE-A|=[*]=(λ-1)2(λ-10). A的特征值为1,1,10. 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A-E)X=0的非零解, [*] 得(A-E)X=0的同解方程组x1+2x2-2x3=0, 显然α1=(0,1,1)T是一个解.第2个解取为α2=(c,-1,1)T(保证了与α1的正交性!),代入方程求出c=4,即α2=(4,-1,1)T. 令γ11/‖α1‖=[*](0,1,1)T,γ2是=α2/‖α2‖=[*](4,-1,1)T. 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A-10E)X=0的非零解(1,2,-2)T,令 γ33/‖α3‖=(1,2,-2)T/3. 作正交矩阵Q=(γ1,γ2,γ3). 则 QTAQ=Q-1AQ=[*]

解析
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