假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y= —1}=,P{Y=1}=。求: Z=XY的概率密度fZ(z)。

admin2019-07-19  29

问题 假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y= —1}=,P{Y=1}=。求:
Z=XY的概率密度fZ(z)。

选项

答案根据题意[*],X~N(0,1)且X与Y相互独立,所以Z=XY的分布函数为 FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y= —1}P{XY≤z|Y= —1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y= —1}P{—X≤z|Y= —1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y= —1}P{X≥—z}+P{Y=1}P{X≤z} =[*][1—P{X<—z}]+[*]P{X≤z} =[*] 即Z=XY服从标准正态分布,所以其概率密度为fZ(z)=φ(z)=[*]。

解析
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