设f(x,y)=|x—y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的( )

admin2014-04-16  44

问题 设f(x,y)=|x—y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的(    )

选项 A、必要条件但非充分条件.
B、充分条件但非必要条件.
C、充分必要条件.
D、既非充分又非必要条件.

答案C

解析 先证充分性,设φ(0,0)=0,由于φ(x,y)在点(0,0)处连续,所以由于所以所以按可微定义,f(x,y)在点O(0,0)处可微,且df(x,y)=0.△x+0.△y,即fx(0,0)=0,fy(0,0)=0.再证必要性,设f(x,y)在点(0,0)处可微,则fx(0,0)与fy(0.0)必都存在.其中x→0+时取“+”,x→0-时取“一”.由于fx(0,0)存在,所以+φ(0,0)=一φ(0,0),从而φ(0.0)=0.证毕.
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