[2003年] 设其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是________．

admin2021-01-25 39

问题 [2003年] 设

其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是________．

选项

答案λ>2

解析点x=0为f(x)的分段点，由导数定义知

因而当λ－1＞0即λ＞1时，极限

存在(有界变量与无穷小量乘积为无穷小量)，f(x)在x=0处可导，且

又当x≠0时，f(x)可导，其导数为
f’(x)=[x^λcos(1／x)]’=λx^λ-1cos(1／x)－x^λsin(1／x)·(－1／x²)
=λx^λ-1cos(1／x)+x^λ-2sin(1／x)，
综上所述，当λ＞1时，

显然λ－2＞0时，x^λ-2及x^λ-1均为无穷小量(x→0)，极限

才存在，且

故当λ＞2时，f(x)在x=0处连续；当λ≤2时，

不存在，f’(x)在x=0处不连续．

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