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  3. 假设某种型号的螺丝钉的质量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克。100个螺丝钉装一袋，每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的质量超过5．1千克的概率是( )

假设某种型号的螺丝钉的质量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克。100个螺丝钉装一袋，每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的质量超过5．1千克的概率是( )

admin2019-03-25  33
问题 假设某种型号的螺丝钉的质量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克。100个螺丝钉装一袋，每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的质量超过5．1千克的概率是(    )
选项 A、0．995。
B、0．655。
C、0．752。
D、0．857。
答案A
解析 假设Xi表示袋中第i颗螺丝钉的质量，i=1，…，100，那么X1，X100相互独立同分布，E(Xi)=50，D(Xi)=25。设一袋螺丝钉的质量为S100，则S100=Xi，E(S100)=5 000，D(S100)=2 500，
由中心极限定理可知S100近似服从正态分布N(5 000，2 500)，所以一袋的质量超过5．1千克的概率为
P{S100＞5 100}=1一P{S100≤5 100}=1一P{≤2}≈1一Φ(2)=0．022 75。
   设500袋中质量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参数n=500，P=0．022 75的二项分布。那么E(Y)=np=11．375，D(Y)=np(1一p)=11．116。根据棣莫弗一拉普拉斯定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ2=11．116的正态分布。故
P{≤0.04}=P{Y≤20}=P≈Φ(2．59)=0．995。
    故选(A)。
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考研数学一

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