设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且∫04f(x)dx=0,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0.

admin2018-05-23  57

问题 设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且∫04f(x)dx=0,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0.

选项

答案用反证法来证明本题. 由题设f(x)在[0,4]上连续即知f(4一x)在[0,4]上连续,从而其和f(x)+f(4一x)也在[0,4]上连续.若不存在ξ∈(0,4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0,则f(x)+f(4一x)或在(0,4)内恒正,或在(0,4)内恒负,于是必有 ∫04[f(x)+f(4一x)]dx≠0 但是∫04f(x)dx=0用换元x=4一t可得∫04f(4一t)dt=0.于是∫04[f(x)+f(4一x)]dx=0,由此得出的矛盾表明必存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0.

解析
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