设有定义在(-∞,+∞)上的函数: 则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________; (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________.

admin2019-08-11  43

问题 设有定义在(-∞,+∞)上的函数:

则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________;
(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________.

选项

答案B;D

解析 (Ⅰ)当x>0与x<0时上述各函数分别与某初等函数相同,故连续.从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续.注意到若f(x)=其中g(x)在(-∞,0]连续,h(x)在[0,+∞)连续.因f(x)=g(x)(x∈(-∞,0])=>f(x)在x=0左连续.若又有g(0)=h(0)=>f(x)=h(x)(x∈[0,+∞)) =>f(x)在x=0右连续.因此f(x)在x=0连续.B中的函数g(x)满足:sinx|x=0=(cosx-1)|x=0,又sinx,cosx-1均连续=>g(x)在x=0连续.因此,B中的g(x)在(-∞,+∞)连续.应选B.
(Ⅱ)关于A:由

=>x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点).
关于(C):由

=>x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点).
已证B中g(x)在x=0连续.因此选D.
或直接考察D.由

=>x=0是m(x)的第二类间断点.
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