设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B; (Ⅱ)求矩阵A的特征值; (Ⅲ)求可逆矩阵P,使得P

admin2020-03-16  35

问题 设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1123,Aα2=2α23,Aα3=2α2+3α3
(Ⅰ)求矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B;
(Ⅱ)求矩阵A的特征值;
(Ⅲ)求可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵.

选项

答案(Ⅰ)由题设条件,有 A(α1,α2,α3)=(Aα1,Aα2,Aα3)=(α123,2α23,2α2+3α3) =(α1,α2,α3)[*] 所以,[*] (Ⅱ)因为α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,可知矩阵C=(α1,α2,α3)可逆,所以由AC=CB,得C一1AC=B,即矩阵A与B相似.由此可得矩阵A与B有相同的特征值, 由|λE 一B|=[*]=(λ一1)2(λ一4)=0 得矩阵B的特征值,也即矩阵A的特征值为λ1一λ2=1,λ3=4. (Ⅲ)对应于λ12=1,解齐次线性方程组(E一B)x=0,得基础解系 ξ1=(一1,1,0)T,ξ2=(一2,0,1)T; 对应于λ3=4,解齐次线性方程组(4E一B)x=0,得基础解系ξ3=(0,1,1)T. 令矩阵 Q= (ξ1,ξ2,ξ3)=[*] 则有 Q一1BQ=[*] 因Q一1BQ=Q一1C一1ACQ=(CQ)一1A(CQ),记矩阵 P= CQ=(α1,α2,α3)[*] =(一α12,一 2α13,α23) 则有P一1AP=Q一1BQ=diag(1,1,4),为对角矩阵,故P为所求的可逆矩阵.

解析
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