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  3. 求解下列方程： (I)求方程xy”=y’lny’的通解； (Ⅱ)求yy”=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．

求解下列方程： (I)求方程xy”=y’lny’的通解； (Ⅱ)求yy”=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．

admin2017-07-28  23
问题 求解下列方程：
(I)求方程xy”=y’lny’的通解；
(Ⅱ)求yy”=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．
选项
答案(I)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp． 当p≠1时，可改写为[*]其通解为 ln|lnp|=ln|x|+C，即lnp=C1x，即y’=[*]． 这样，原方程的通解即为[*]．其中C1≠0，C2为任意常数． 当p=1时，也可以得到一族解y=x+C3． (Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以y为自变量，[*]原方程可化为[*] 当p≠0时，可改写为[*]解为p一1=C1y2 再利用p=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程 y’=1+y2, 其通解为y=tan(x+C2)． 再一次利用初始条件y(0)=1，即得[*]所以满足初始条件的特解为[*]
解析
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考研数学一

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