设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0＜α＜π／2)的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积V．

admin2019-04-05 35

问题设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0＜α＜π／2)的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积V．

选项

答案因立体为非旋转体，此立体体积可按式(1．3．5．11)计算，为此先求平行截面面积A(x)．解一底面椭圆的方程为[*]=1，以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为x=a[*]，另一直角边长为a[*]tanα(见图1．3．5．11)，故截面面积为 A(y)=[*]tanα．由式(1．3．5．11)得楔形体的体积为 V=∫_-b^bA(y)dy=[*]tanαdy =[*]tanα∫₀^b(b²一y²)dy=[*]tanα．解二用垂直于z轴的平行平面截此楔形体所得截面为矩形，其面积为 A(x)=2b[*]·x tanα．由式(1．3．5．10)得楔形体体积为 V=∫₀^aA(x)dx=2btanα∫₀^ax[*] [*]

解析

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考研数学二

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设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0＜α＜π／2)的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积V．

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