首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1 (其中k1+…+kn-r+1=1).
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1 (其中k1+…+kn-r+1=1).
admin
2017-07-10
29
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…η
n-r+1
是它的n一r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
(其中k
1
+…+k
n-r+1
=1).
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关且均为Ax=b的解.取ξ
1
=η
2
一η
1
,ξ
2
=η
3
一η
1
,…,ξ
n-r
=η
n-r+1
一η
1
,根据线性方程解的结构,则它们均为对应齐次方程Ax=0的解.下面用反证法证:设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n-r
,使得l
1
ξ
1
+l
1
ξ
2
+…+l
n-r
ξ
n-r
=0,即 l
1
(η
2
一η
1
)+l
2
(η
3
一η
1
)+…+l
n-r
(η
n-r+1
一η
1
)=0,亦即一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n-r
η
n-r+1
=0.由η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关知一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)=l
1
=l
2
=…=l
n-r
=0,与l
1
,l
2
,…,l
n-r
不全为零矛盾,故假设不成立.因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,是Ax=0的一组基.由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x一η
1
为Ax=0的解,因此x一η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,设X一η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r
,=k
2
(η
2
一η
1
)+k
3
(η
3
一η
1
)+…+k
n-r+1
(η
n-r+1
一η
1
),则X=η
1
(1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
=0,令k
1
=1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n-r+1
=1,从而X=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
恒成立.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/n9zRFFFM
0
考研数学二
相关试题推荐
[*]
生产某种产品必须投入两种要素,x1与x2分别为两要素的投入量,Q为产出量;若生产函数为Q=2x1αx2β,其中α,β为正常数,且α+β=1.假设两要素的价格分别为声p1和p2,试问当产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?
甲船以20km/h的速度向东行驶,同一时间乙船在甲船正北82km处以16km/h的速度向南行驶,问经过多长时间两船距离最近?
若f(x)是连续函数,证明
设A=E-ξξT,其中层为n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明:A2=A的充要条件是ξTξ=1;
求方程组(I)的一个基础解系;
当x→0时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?().
一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为ro的雪堆在开始融化的3个小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时?
自变量x取哪些值时,抛物线y=x2与y=x3的切线平行?
(2006年试题,15)试确定常数A,B,C的值,使得e2(1+Bx+Cx2)=1+Ax+D(x2)其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.
随机试题
用碳素钢制造的压力容器焊后不需要热处理。
A.Ⅰ°烧伤B.浅Ⅱ°烧伤C.深Ⅱ°烧伤D.Ⅲ°烧伤E.轻度烧伤焦痂性烧伤是指
小儿咳嗽时一般不首选使用
描述一次细菌性痢疾暴发的常用指标是
经纪人收受回扣,是()行为。
甲房地产开发公司在一次土地拍卖会上购得土地一块,按规划要求设计为下部两层商场,上部三层住宅。在两层商场完成后,房地产开发公司为了获得建设资金,将已建项目全部向银行进行了抵押贷款。后又完成了两层住宅建设,因预售情况不理想而债务又已经到期,经协商,同意将项目整
佛教基本教义“四谛”,即苦谛、集谛、灭谛和道谛。()
正确评价幼儿生长发育指标是()。
《公安机关人民警察职业道德规范》中明确了服务社会、热情周到的要求,下列内容没有直接体现该精神的是()。
-3,0,23,252,()
最新回复
(
0
)