设n维向量α1,α2……αs的秩为r,则下列命题正确的是

admin2019-07-10  66

问题 设n维向量α1,α2……αs的秩为r,则下列命题正确的是

选项 A、α1,α2……αs任何r—1个向必必线性无关.
B、α1,α2……αs中任何r个向量必线性无关.
C、如果s>n,则α必可由α1,α2……αs线性表示.
D、如果r=n,则任何n维向量必可由α1,α2……αs线性表示.

答案D

解析 r(α1,α2……αs)=rα1,α2……αs中一定存在r个向量线性无关,而任意r+1个向量必线性相关.当向量组的秩为r时,向量组中既可以有r一1个向量线性相关,也可以有r个向量线性相关,故A、B均错误.例如向量α1234分别为(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),其秩为3,其中α14线性相关,α124也线性相关.该例说明,4维向量可以有2个向量线性相关,也可以有3个向量线性相关.但肯定有3个向量线性无关.当s>n时,表明α1,α2……αs必线性相关,此时有理由可以由α1,…,αi-1,αi+1…,…,αs线性表示,但αs不一定能由α1,…,αs-1线性表示.故C不正确.若r(α1,α2……αs)=n,则对任何n维向量β必有r(α1,α2……αs,β)=n故D正确.因此应选D.
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