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设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.
设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.
admin
2019-08-12
57
问题
设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.
选项
答案
构造辅助函数F(x)=f(x)e
x
,由于f(x)可导,故F(x)可导,设x
1
和x
2
为f(x)的两个零点,且x
1
<x
2
,则F(x)在[x
1
,x
2
]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(x
1
,x
2
),使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)e
ξ
+f(ξ)e
ξ
=e
ξ
[f’(ξ)+f(ξ)]=0.由于e
ξ
≠0,因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0.所以f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.
解析
f(x)的两个零点x
1
,x
2
(不妨设x
1
<x
2
)之间有f(x)+f’(x)的零点问题,相当于在(x
1
,x
2
)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题.若能构造一个函数F(x),使F’(x)=[f(x)+f’(x)]φ(x),而φ(x)≠0,则问题可以得到解决.由(e
x
)’=e
x
可以得到启发,令F(x)=f(x)e
x
.
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考研数学二
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