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  3. 设二次型f＝2x12＋2x22＋ax33＋2x1x2＋2b1x3 ＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准 形F＝y12＋y22＋4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

设二次型f＝2x12＋2x22＋ax33＋2x1x2＋2b1x3 ＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准 形F＝y12＋y22＋4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2020-03-10  57
问题 设二次型f＝2x12＋2x22＋ax33＋2x1x2＋2b1x3
＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准
形F＝y12＋y22＋4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．
选项
答案二次型f＝2x12＋2x22＋ax32＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3的矩阵形式为 f＝XTAX 其中A＝[*]，因为QTAQ＝B＝[*]，所以A～B(因为正交矩阵 的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4． 而｜λE－A｜＝λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)，所以有 λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)＝(λ－1)2(λ－4)， 解得a＝2，b＝1．当λ1＝λ2＝1时，由(E－A)X＝0得ξ1＝[*]由λ3＝ 4时，由(4E－A)X＝0得ξ3＝[*]显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为 [*]
解析
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考研数学三

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