假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: (1)在开区间(a,b)内g(x)≠0. (2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使

admin2021-11-09  48

问题 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:
(1)在开区间(a,b)内g(x)≠0.
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使

选项

答案(1)利用反证法.假设存在c∈(a,b),使得g(c)=0,则对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别应用罗尔中值定理,可知存在ξ1∈(a,c)和ξ2∈(c,b),使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立. 接着再对g’(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔中值定理,可知存在ξ3∈(ξ1,ξ2),使得g’’(ξ3)=0成立,这与题设条件g’’(x)≠0矛盾,因此在开区间(a,b)内g(x)≠0. (2)构造函数F(x)=f(x)g’(x)一g(x)f’(x),由题设条件得函数F(x)在区间[a,b]上是连续的,在区间(a,b)上是可导的,且满足F(A)=F(B)=0.根据罗尔中值定理可知,存在点ξ∈(a,b),使得F’(ξ)=0.即f(ξ)g’’(ξ)一f’’(ξ)g(ξ)=0,因此可得 [*]

解析
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