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  3. 设A是3阶方阵，有3阶可逆矩阵P，使得P-1AP=，A*是A的伴随矩阵，则P-1A*P= ( )

设A是3阶方阵，有3阶可逆矩阵P，使得P-1AP=，A*是A的伴随矩阵，则P-1A*P= ( )

admin2018-03-30  39
问题 设A是3阶方阵，有3阶可逆矩阵P，使得P-1AP=，A*是A的伴随矩阵，则P-1A*P=    (    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 法一  设P=(ξ1，ξ2，ξ3)，其中ξ1，ξ2，ξ3分别是对应于A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3的特征向量，则ξ1，ξ2，ξ3也是A-1的分别对应于特征值μ1=的特征向量．
因A*=｜A｜A-1，｜A｜==6．
故ξ1，ξ2，ξ3是A*的分别对应于特征值l1=｜A｜μ1=6，l2=｜A｜μ2=3，l3=｜A｜μ3=2的特征向量．故有
P-1A*P=，故应选D．
法二  由已知P-1AP=，两边求逆，得
(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P=
上式左右两端分别乘｜A｜(｜A｜是一个数，｜A｜==6)，得
P-1｜A｜A-1P=P-1A*P=，
  故应选D．
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考研数学三

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