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  3. 求函数F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt (0≤x≤1)的凹凸区间．

求函数F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt (0≤x≤1)的凹凸区间．

admin2018-06-14  30
问题 求函数F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt  (0≤x≤1)的凹凸区间．
选项
答案因当0≤x≤1时， F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt=∫0x(1一t)(x一t)dt+∫x1(1一t)(t一x)dt =x∫0x(1一t)dt—∫0x(1一t)tdt+∫x1t(1一t)dt一x∫x1(1一t)dt． 从而 F’(x)=∫0x(1—t)dt+x(1一x)一(1—x)x一x(1—x)一∫x1(1一t)dt+x(1一x) =∫0x(1一t)dt一∫x1(1一t)dt， F"(x)=1一x+(1一x)=2(1一x)＞0，[*]x∈(0，1)． 由F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内F"(x)＞0，故区间[0，1]上y=F(x)的图像是凹弧．
解析
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考研数学三

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