2. 考研
  3. 设f(x)、g(x)均为连续二阶可导的函数，若曲线积分 其中L为平面上任意一条简单封闭曲线． (1)试求：f(x)、g(x)使得f(0)=g(0)=0． (2)计算沿任意一条曲线从点(0，0)到点(1，1)的曲线积分．

设f(x)、g(x)均为连续二阶可导的函数，若曲线积分 其中L为平面上任意一条简单封闭曲线． (1)试求：f(x)、g(x)使得f(0)=g(0)=0． (2)计算沿任意一条曲线从点(0，0)到点(1，1)的曲线积分．

admin2017-05-31  47
问题 设f(x)、g(x)均为连续二阶可导的函数，若曲线积分
    其中L为平面上任意一条简单封闭曲线．
    (1)试求：f(x)、g(x)使得f(0)=g(0)=0．
    (2)计算沿任意一条曲线从点(0，0)到点(1，1)的曲线积分．
选项
答案在曲线积分[*][y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy中，令P(x,y)=y2f(x) +2yex+2yg(x)，Q(x,y)= 2[yg(x)+f(x)]则[*] (1)由于曲线积分与路径无关，则[*]即2yg’(x)+ 2f’(x)= 2yf(x)+2ex+2g(x)，亦即yg’(x)+ f’(x)= yf(x)+ex+g(x) ．比较变量y的同次幂前的系数，得[*]于是，就有g’’(x) 一g(x)=ex．解此二阶线性微分方程，得通解为g(x)=c1 ex+c2 e一x+[*]，其中c1 c2为任意常数．根据条件g(0)=0，g’(0)= f(0)=0，得[*] (2)再由曲线积分与路径无关，可取路径为OAB，如图1—9—3所示， [*] 则I=∫L[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy=∫01P(x,0)dx+∫01Q(1,y)dy=∫010dx+∫012[yg(1)+f(1)]dy=g(1)+2f(1)[*]
解析 (1)利用曲线积分与路径无关的充要条件，将问题化为微分方程问题，这是一类很典型的综合题型．
    (2)利用曲线积分与路径无关的充分必要条件在求解曲线积分时，一般均采用折线段的方法．
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