设A是3阶实矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是三个对应的特征向量. 证明:当λ2λ3≠0时,向量组ξ1,A(ξ1+ξ2),A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关.

admin2018-09-20  32

问题 设A是3阶实矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是三个对应的特征向量.
证明:当λ2λ3≠0时,向量组ξ1,A(ξ12),A2123)线性无关.

选项

答案因 [ξ1,A(ξ12),A2123)]=[ξ1,λ1ξ12ξ2,λ12ξ122ξ232ξ3]=[ξ1,ξ2,ξ3][*] 因λ1≠λ2≠λ3,故ξ1,ξ2,ξ3线性无关,由上式知ξ1,A(ξ12),A2123)线性无关[*]=λ2λ32≠0,即λ2λ3≠0.

解析
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