2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3，…， βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数． 试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3，…， βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数． 试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

admin2013-04-04  59
问题 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，
β1=t1α1+t2α2，  β2=t1α2+t2α3，…， βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．
试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案由于βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，又α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据 齐次方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解． 从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系，知s=n-r(A)． 下面来分析β1，β2，…，βs线性无关的条件．设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即 (t1k1+t2k2)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0， 由于α1，α2，…，αs线性无关，因此有 [*] (*) 因为系数行列式 [*]=t1s+(-1)s+1t2s， 所以当t1s+(-1)s+1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0．从而β1，β2，…，βs线性无关．即当s为偶数t1≠±t2，s为奇数t1≠-t2时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．
解析 如果β1，β2，…，βs是Ax=0的基础解系，则表明
    (1)β1，β2，…，βs是Ax=0的解；
    (2)β1，β2，…，βs线性无关；
    (3)s=n-r(A)或β1，β2，…，βs可表示Ax=0的任一个解．
那么要证β1，β2，…，βs是基础解系，也应当与证这三点．
本题中(1)、(3)是容易证明的，关键是(2)．线性相关性的证明在考研中是常见的．
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