2. 考研
  3. 设y=cosx，求y(n)．

设y=cosx，求y(n)．

admin2019-02-20  22
问题 设y=cosx，求y(n)．
选项
答案逐一求导，得 y’=cosx+x(cosx)’， y"=2(cosx)’+x(cosx)"， y"=y(3)=3(cosx)"+x(cosx)(3)，…观察其规律得y(n)=n(cosx)(n－1)+x(cosx)(n)． (*) 用归纳法证明：当n=1时(*)显然成立，设n=后时(*)式成立，得 y(k+1)=k(cosx)(k)+(cosx)(k))+x(cosx)(k+1)=(k+1)(cosx)(k)+x(cosx)(k+1))， 即n=k+1时成立，因此(*)式对任意自然数n成立． 再用(cosx)(n)的公式得 [*]
解析
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考研数学三

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