设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

admin2022-04-05 5

问题设f(x)连续，且满足∫₀¹f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

选项

答案令tx=s，原方程改写成 [*]∫₀^xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫₀^xf(s)ds=xf(x)+x²sinx．[*] ① 将①式两边对x求导可得 f(x)=xf’(x)+f(x)+(x²sinx)’，即[*] (x=0时两端自然成立，不必另加条件．) 再将②式两边直接积分得 [*]

解析

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