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  3. 已知A为三阶方阵，A2一A一2E=0，且0＜｜A｜＜5，则｜A+2E｜= ________。

已知A为三阶方阵，A2一A一2E=0，且0＜｜A｜＜5，则｜A+2E｜= ________。

admin2019-05-14  11
问题 已知A为三阶方阵，A2一A一2E=0，且0＜｜A｜＜5，则｜A+2E｜= ________。
选项
答案4
解析 设A的特征值λi对应的特征向量是xi(xi≠0，i=1，2，3)，则Axi=λxi。
由A2—A—2E=0可知，特征向量xi满足(A2—A—2E)xi=0，从而有λi2—λi—2=0，解得λi= —1或λi=2。再根据｜A｜=λ1λ2λ3及0＜｜A｜＜5可得，λ1=λ2= —1，λ3=2。
由Axi=λxi可得(A+2E)xi=(λi+2)xi，即A+2E的特征值μi(i=1，2，3)满足μi=λi+2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故｜A+2E｜=1×1×4=4。
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考研数学一

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