设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

admin2017-06-14 25

问题设3阶对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，α₁=(1，－1，1)^T是A的属于λ₁的一个特征向量，记B=A⁵－4A³+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

选项

答案由Aα₁=α₁得A²α₁=Aα₁=α₁，进一步 A³α₁=α₁，A⁵α₁=α₁，故 Bα₁=(A⁵－4A³+E)α₁ =A⁵α₁－4A³α₁+α₁ =α₁—4α₁+α₁ =－2α₁，从而α₁是矩阵B的属于特征值－2的特征向量．由B=A⁵－4A³+E及A的3个特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，得B的3个特征值为 μ₁=－2，μ₂=1，μ₃=1．设α₂，α₃为B的属于μ₂=μ₃=1的两个线性无关的特征向量，又因为A是对称矩阵，得 B也是对称矩阵，因此α₁与α₂，α₃正交，即 α₁^Tα₂=0， α₁^Tα₃=0，所以α₂，α₃可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： [*] 故B的全部特征值的特征向量为 [*] 其中k₁是不为零的任意常数，k₂，k₃是不同时为零的任意常数．

解析

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考研数学一

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设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

考研数学一

设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1/2，则μ=___________.

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．求a,b的值及方稗组的通解．

设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一一个基础解系，则Ax=0的基础解系可为

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

设矩阵A，B满足ABA=2BA-8E，其中E为单位矩阵，A为A的伴随矩阵，则B=________．

影响资本积累规模的因素包括()

A．起病急骤，寒战、高热B．经治疗后肺部病变完全消退，肺组织恢复正常C．两者都有D．两者都无干酪性(结核性)肺炎

施工合同范本中将工程变更分为()。

下列选项关于劳动合同的描述，说法正确的有()。

人民警察在警察风纪方面的要求是：保持警容严整，()。

近代警察制度发端于()。

“学而时习之，温故而知新”体现了教学的()原则。

A、 B、 C、 C

Weregret(tell)______youthatthematerialsyouorderedwereoutofstock.

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

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设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1/2，则μ=___________.

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．求a,b的值及方稗组的通解．

设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，其中E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=________．

影响资本积累规模的因素包括()

A．起病急骤，寒战、高热B．经治疗后肺部病变完全消退，肺组织恢复正常C．两者都有D．两者都无干酪性(结核性)肺炎

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下列选项关于劳动合同的描述，说法正确的有()。

人民警察在警察风纪方面的要求是：保持警容严整，()。

近代警察制度发端于()。

“学而时习之，温故而知新”体现了教学的()原则。

A、 B、 C、 C

Weregret(tell)______youthatthematerialsyouorderedwereoutofstock.

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一一个基础解系，则Ax=0的基础解系可为

设矩阵A，B满足ABA=2BA-8E，其中E为单位矩阵，A为A的伴随矩阵，则B=________．