2. 考研
  3. 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(—1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(—1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

admin2019-02-26  21
问题 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(—1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
选项
答案计算得y’2(x)=[u’(x)+u(x)]ex，y’’2(x)=[u’’(x)+2u’(x)+u(x)]ex， 将y2(x)=u(x)ex代入方程(2x－1)y’’一(2x+1)y’+2y=0有 (2x一1)u’’(x)+(2x一3)u’(x)=0， [*] 两边积分lnu’(x)=一x+ln(2x一1)+lnC1， 即 u’(x)=C1(2x—1)e－x． 故 u(x)=一C1(2x+1)e－x+C2 由条件u(一1)=e，u(0)=一1，得C1=1，C2=0，即u(x)=一(2x+1)e－x． y1(x)，y2(x)是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个线性无关的解，所以通解为y(x)=C1e+C2(2x+1)．
解析 根据已知的关系式，变形得到关于u(x)的微分方程，解微分方程求得u(x)．
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考研数学一

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