(2013年)设数列(an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2一n(n一1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。 (I)证明：S"(x)一S(x)=0； (Ⅱ)求S(x)的表达式。

admin2018-03-11 43

问题 (2013年)设数列(a_n}满足条件：a₀=3，a₁=1，a_n-2一n(n一1)a_n=0(n≥2)。S(x)是幂级数

的和函数。
(I)证明：S"(x)一S(x)=0；
(Ⅱ)求S(x)的表达式。

选项

答案(I)证明：对[*]逐项求导得 [*] 将S(x)的表达式改写为[*] 于是[*] (Ⅱ)注意S(0)=a₀=3，S′(0)=a₁=1，求和函数归结为求解初值问题 [*] 特征方程λ²一1=0，特征根λ=±1，于是方程的通解为S(x)=C₁e^x+C₂e^-x，再由初值得出C₁=2， C₂=1，因此S(x)=2e^x+e^-x。

解析

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考研数学一

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