2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x，x，x)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x，x，x)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。

admin2018-01-26  26
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。
    (Ⅰ)求a的值；
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x，x，x)化成标准形；
    (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。
选项
答案(Ⅰ)由已知可得，二次型的矩阵A=[*]，且A的秩为2，从而｜A｜=[*]=-8a=0，解得a=0。 (Ⅱ)当a=0时，A=[*]，由特征多项式 ｜λE-A｜=[*]=(λ-2)[(λ-1)2-1]=λ(λ-2)2=0， 得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0。 当λ=2时，由(2E-A)x=0及系数矩阵[*]，得两个线性无关的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T。 当λ=0时，由(0E-A)x=0及系数矩阵[*]，得特征向量α3=(1，-1，0)T。 容易看出，α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化，即得 γ1=[*](1，1，0)T，γ2=(0,0，1)T，γ3=[*](1，-1，0)T。 那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，则在正交变换X=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化为标准形f(1，x2，x3)=2y12+2y22。 (Ⅲ)由(Ⅰ)中结论，f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，于是得[*]所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解为k(1，-1，0)T，其中k为任意常数。
解析
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考研数学一

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