2. 考研
  3. 设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=4(x2+y2)，求f(u)．

设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=4(x2+y2)，求f(u)．

admin2019-07-22  48
问题 设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=4(x2+y2)，求f(u)．
选项
答案z=f(ex2-y2)是z=f(u)与u=ex2-y2的复合函数，由复合函数求导法可导出[*]与f’(u)，f’’(u)的关系式，从而由[*]=4(x2+y2)导出f(u)的微分方程式，然后解出f(u)． 令u=ex2-y2，则有 [*] 其中[*]=2xx2-y2=2xu，[*]=-2yex2-y2=-2yu． 进而可得 [*]=4x2u2f’’(u)+(2u+4x2u)f’(u)， [*]=4y2u2f’’(u)-(2u-4y2u)f’(u)． 所以 [*]=4(x2+y2)u2f’’(u)+4(x2+y2)uf’(u)． 由题设条件，得u2f’’(u)+uf’(u)-1=0． 这是可降阶的二阶方程，令P=f’(u)，则方程化为u2[*]+uP=1． 解此一阶线性方程．将上述方程改写成 [*]uP=lnu+C1，即P=[*] 记y=f(u)，于是[*]ln2u+C1lnu+C2 (u＞0)， 其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学二

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